1 Stationaire 1-dimensionele reële stroming Bernoulli - Castelli

In dit hoofdstuk gebruiken we de samenvattende redeneringen van p. VS.28-29 om de stromingswetten, analysemethodes, aanpassingen en correcties te formuleren, die toelaten om reële axiaal-symmetrische stromingsproblemen (dat zijn onder andere stromingen doorheen leidingssystemen) via één “gemiddelde” stroomlijn te beschrijven. Dit leidt tot de Leidraad aanpak reële 1-dimensionele stromingsproblemen, een overzicht dat terug te vinden is op p. BE.44. We zullen de verschillende stappen van deze aanbevolen werkmethode gaandeweg in dit en volgende hoofdstukken ontwikkelen en illustreren.

1.1 Stroombeeld en Stromingsmodel: Euler

Figuur 1 toont het ingeschatte, gemeten of berekende stroombeeld voor een aantal reële stromingsgevallen. Het gaat steeds om stationaire stromingen, die op elk tijdstip in het controlevolume hetzelfde stroombeeld opleveren: een snapshotweergave van snelheidsvectoren in elk punt van het controlevolume, die zowel in grootte als in richting in de tijd niet wijzigen.

Wanneer een reële stationaire stroming via stroomlijnen een axiaal symmetrisch stroombeeld oplevert, dan kan deze met succes benaderd worden via één “gemiddelde” stroomlijn, die overeenkomt met de as of hartlijn van de omgevende stroombuis, en de dwarsdoorsnedes op deze stroomlijn. Het controlevolume is dan een buis afgebakend door een in gedachten ondoorlaatbare buiswand en een instroom- en uitstroomdoorsnede dwars op stroomlijn. In dit 1-dimensioneel stromingsmodel zal men in alle vergelijkingen, geschreven in de punten van de stroomlijn, met een gemiddelde snelheidswaarde werken, die het reële debiet doorheen de dwarsdoorsnede in dat punt realiseert. Overigens wordt er voor de druk p, de liggingshoogte h en de dichtheid \(\rho\) eveneens met gemiddelde waarden ter hoogte van de hartlijn van de stroombuis gerekend. Er zouden daarom bij een precisieberekening voor alle waarden in de verschillende stromingswetten correcties moeten ingevoerd worden. Ze worden echter meestal verwaarloosd omdat in praktijk blijkt dat ze beduidend kleiner zijn dan de bijkomende correcties, die verband houden met viscositeit en bijbehorende wrijvingsverliezen in de stroming. Voorbeelden die axiaalsymmetrische stroombeelden opleveren zijn de stroming doorheen (cilindervormige) leidingen, maar ook rechthoekige luchtkanalen, de draaikolken bij een uitstroming doorheen een opening in een reservoir, de lucht die door een helikopterschroef of een vliegtuigpropeller aangezogen wordt of de waterstroom doorheen een scheepspropeller.

Ook de stroming van fluïda over een vlakke plaat, dat als het geïdealiseerd model en uitgangspunt kan bekeken worden voor de reële ‘lift’werking van een vliegtuigvleugel of een spoiler op een raceboot of racewagen, kan met een gelijkaardige methodologie bestudeerd worden - zij het dat de stroming dan 2-dimensioneel is met variabelen langsheen de stroomlijn en in 1 dwarsrichting-zie de case study ‘Drag & Lift’. In alle gevallen worden de correcties opgevangen in de verliestermen die later in deze cursus ingevoerd worden.

Belangrijke opmerking: bewegende waarnemer—bewegend controlevolume

In het vorige werd steeds verondersteld dat het controlevolume een vaste (in de tijd onveranderlijke) ruimte betreft, waar doorheen vloeistof stroomt, die aanleiding geeft tot de in figuur 1 voorgestelde stroombeelden. Wanneer de stroming stationair is, wanneer het stroombeeld doorheen dit controlevolume in de tijd niet wijzigt, dan zijn de geformuleerde stromingswetten, o.a. de wet van Bernoulli langsheen een stroomlijn, geldig. Euler betoogde reeds dat deze formuleringen ook geldig zijn voor bewegende waarnemers, voor controlevolumes die meebewegen met de bewegende waarnemer. Hij had het over snelheid als een relatief begrip. Wanneer voor de waarnemer het controlevolume niet veranderlijk is in de tijd—maar wel samen met hem meebeweegt—dan blijft de wet van Bernoulli (in zover het een relatieve stationaire stroming betreft) en de andere stromingswetten geldig door met de relatieve stromingsgrootheden te rekenen: relatieve stroombeelden, relatieve snelheden, relatieve debieten… Deze bedenking is bijzonder handig wanneer men de lucht- of waterstroming omheen bewegende objecten—bijvoorbeeld auto’s, vliegtuigen, schepen…—bestudeert. De laatste twee figuren hierboven geven een voorbeeld. De eerste toont het stroombeeld in een vast controlevolume waargenomen door een vaste waarnemer: geen stationair stroombeeld; de tweede figuur toont hetzelfde fenomeen maar bekeken vanuit een waarnemer die meebeweegt met het voertuig: een controlevolume dat meebeweegt met het voertuig en een stationair (relatief) stroombeeld hierin.

1.2 Continuïteitsvergelijking—Massabalans - Regel van Castelli

1.2.1 Formulering

We vertrekken van de formulering op p. SV.27:

\(\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {\rho u} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho v} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {\rho w} \right)}}{{\partial z}} = 0\)

Voor een 1-dimensionele stationaire stroming uitgedrukt in stroomlijncoördinaten (dimensie s) wordt deze vergelijking:

\(\frac{{\partial \left( {\rho v} \right)}}{{\partial s}} = 0\) -- hierin is \(v\) de totale snelheid

Het gaat dan om de totale differentiaal, zodat:

\(d\left( {\rho \cdot v} \right) = 0\)-- langsheen een stroomlijn

\({\rho _i} \cdot {v_i} = cte\) -- voor alle punten i van eenzelfde stroomlijn

Vermenigvuldigen we deze vergelijking met \(d{A_i}\), de elementaire dwarsoppervlakte in het punt i van een stroomlijn, dan bekomen we het elementair massadebiet dat op het ogenblik t doorheen een infinitesimaal kleine dwarsoppervlakte rond een punt i van een stroomlijn stroomt:

\({\rho _i} \cdot {v_i} \cdot d{A_i} = cte\) voor alle punten i van eenzelfde stroomlijn

Om het totale massadebiet doorheen de dwarsdoorsnede te vinden integreren we over de totale oppervlakte \({A_i}\) van de dwarsdoorsnede in het punt i van de stroomlijn:

\(\int\limits_{{A_i}} {{\rho _k} \cdot {v_k} \cdot d{A_k}} = cte\)

\({\rho _k}\): de dichtheid in een punt k van het oppervlak \({A_i}\)

\({v_k}{\text{:}}\) de snelheidscomponent in dat punt k

\(d{A_k}{\text{:}}\) het elementair klein oppevlakje ter hoogte van dat punt k

Is de dichtheid constant dan wordt dit:

\(\rho \cdot \int\limits_{{A_i}} {{v_k} \cdot d{A_k}} = cte\)

Bij reële stromingen zijn de snelheden in de verschillende punten van de dwarsdoorsnede niet noodzakelijk gelijk aan elkaar. We kunnen dit oplossen door in het 1-dimensionele stromingsmodel in de stromings-vergelijkingen ter hoogte van de enige stroomlijn te rekenen met een gemiddelde snelheid \({v_i}\), die het reële volumedebiet doorheen dwarsdoorsnedes\({A_i}\) realiseert:

\({v_i} = \frac{{\int\limits_{{A_i}} {{v_k} \cdot d{A_k}} }}{{{A_i}}}\)

\({A_i} = \int\limits_{{A_i}} {d{A_k}} =\) de totale oppervlakte van de dwarsdoorsnede in punt \(i\)

Eventueel moet deze gemiddelde snelheid in een toepassing berekend worden. De consequentie hiervan is dat, indien belangrijk, alle andere grootheden in de stromingsvergelijkingen dienen georrigeerd te worden. Met deze gemiddelde snelheidswaarde bekomen we de algemene formulering van de continuïteitsvergelijking voor 1-dimensionele stromingen, de regel van Castelli, die geldig is voor alle axiaalsymmetrische stromingen, die kunnen gemodelleerd worden als een 1-dimensionele ‘gemiddelde’ stroming. Deze algemene vergelijking kan in bijzondere gevallen verder gereduceerd worden (zie ook figuur 2):

Algemeen: \(\dot m = \rho \cdot q = \rho \cdot A \cdot v = cte\), zodat: \({\rho _i} \cdot {A_i} \cdot {v_i} = {\rho _j} \cdot {A_j} \cdot {v_j}\)

bij een stationaire reële 1-dimensionele stroming van een vloei-stof, stroomt vloeistof doorheen opeenvolgende dwarsdoorsne-des aan een constant massadebiet.

ρ = cte: \(q = A \cdot v = cte\), zodat: \({A_i} \cdot {v_i} = {A_j} \cdot {v_j}\)

bij een stationaire reële 1-dimensionele stroming van een vloeistof met onveranderlijke dichtheid, stroomt vloeistof doorheen opeenvolgende dwarsdoorsnedes aan een constant volumedebiet.

\(\frac{{{v_j}}}{{{v_i}}} = \frac{{{A_i}}}{{{A_j}}}\)

bij een stationaire reële 1-dimensionele stroming van een vloei-stof met onveranderlijke dichtheid, verhouden de stroomsnelheden zich omgekeerd evenredig met de oppervlaktes van de dwars-doorsnedes.

Cilindervorm: \(\frac{{\pi \cdot d_i^2}}{4} \cdot {v_i} = \frac{{\pi \cdot d_j^2}}{4} \cdot {v_j}\), zodat:

\(\frac{{{v_j}}}{{{v_i}}} = \frac{{{d_i}^2}}{{{d_j}^2}} = {(\frac{{{d_i}}}{{{d_j}}})^2}\)

bij een stationaire stroming van een vloeistof met onveranderlijke dichtheid doorheen een leiding met cirkelvormige doorsnede, verhouden de stroomsnelheden zich omgekeerd evenredig met het kwadraat van de diameters van de doorsnedes.

1.2.2 Numerieke voorbeelden

1.2.2.1

Door het convergent van figuur 3 stroomt 3kN water per seconde bij een temperatuur van 20°C.

Bepaal:

1. het volumedebiet

2. de watersnelheid voor en na het convergent.

1.2.2.1.1 Oplossing

\[\dot G = g \cdot \rho \cdot q\]

\(\begin{array}{l}q = \frac{{\dot G}}{{g \cdot \rho }}\\\quad \quad \left\{ \begin{array}{l}\dot G = 3 \cdot {10^3}N/s\\g = 9,81\,m/{s^2}\\\rho = 998,2\,kg/{m^3}\end{array} \right.\quad \quad \\q = \frac{{3 \cdot {{10}^3}}}{{9,81 \cdot 998,2}} = 0,306\,\,{m^3}/s\end{array}\)

\({v_1} = \frac{q}{{{A_1}}} = \frac{{4 \cdot q}}{{\pi \cdot d_1^2}} = \frac{{4 \cdot 0,306}}{{\pi \cdot {{\left( {0,2} \right)}^2}}} = 4,33\,\,m/s\)

\({v_2} = {v_1} \cdot {\left( {\frac{{{d_1}}}{{{d_2}}}} \right)^2} = 4,33 \cdot {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = 9,74\,m/s\)

1.2.2.2

Een leiding met een diameter van 300 mm splitst in twee leidingen met respectievelijke diameter van 150 mm en 200 mm. Verder zijn gegeven:

\[{q_1} = 0,3\,{m^3}/s{\text{ en }}{v_3} = 2,5\,m/s\].

Bepaal: \({q_2}{\text{ en }}{v_2}\).

1.2.2.2.1 Oplossing

Vermits het gaat over een stationaire stroming van een vloeistof met onveranderlijke dichtheid kan de regel van Castelli in deze vertakking geschreven worden vanuit het volumedebiet:

\[\begin{array}{l}{q_1} = {q_2} + {q_3}\\{q_1} = 0,3\,{m^3}/s\\{q_3} = {A_3} \cdot {v_3} = \frac{{\pi \cdot {{\left( {0,2} \right)}^2}}}{4} \cdot 2,5 = 0,0785\,{m^3}/s\\{q_2} = 0,3 - 0,0785 = 0,2215\,{m^3}/s\\{v_2} = \frac{{{q_2}}}{{{A_2}}} = \frac{{4 \cdot {q_2}}}{{\pi \cdot d_2^2}} = \frac{{4 \cdot 0,2215}}{{\pi \cdot {{\left( {0,15} \right)}^2}}} = 12,53\,m/s\end{array}\]

1.2.2.3

Figuur 5 stelt het snelheidsprofiel voor in de dwars-doorsnede van een cilindrische leiding met straal R, wanneer de stroming laminair verloopt: de vloeistof zal dan in cilindervormige laagjes stromen waarbij de snelheid in het centrum van de dwarsdoorsnede het hoogst is en aan de wanden nul. Verderop in de cursus zal aangetoond worden dat bij een perfect laminaire stroming dit snelheidprofiel een paraboloïde vormt (wet van Poiseuille).

Bepaal de (over de doorsnede constante) gemiddelde snelheid \({v_m}\) (in functie van de maximale snelheid \({v_c}\)in het centrum van de leiding), die in een geïdealiseerd stromingsmodel dat het debiet gelijk houdt aan het reëel debiet?

1.2.2.3.1 Oplossing

We berekenen de gevraagde \({v_m}\)vanuit de algemene definitie van het begrip volumedebiet:

\[\begin{array}{l}{v_m} = \frac{1}{A}\int\limits_A {v \cdot dA} \\\quad \quad {\text{met:}}\left\{ \begin{array}{l}A = \pi \cdot {R^2}\\v = {v_c}\left( {1 - \frac{{{r^2}}}{{{R^2}}}} \right)\\dA = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot dr\end{array} \right.\end{array}\]

\(\begin{array}{c}{v_m} = \frac{1}{{\pi \cdot {R^2}}}\int\limits_0^R {{v_c} \cdot \left( {1 - \frac{{{r^2}}}{{{R^2}}}} \right)} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r \cdot dr\\ = \frac{1}{{\pi \cdot {R^2}}} \cdot {v_c} \cdot \left( {\pi \cdot {R^2} - \frac{{2 \cdot \pi }}{{{R^2}}} \cdot \frac{{{R^4}}}{4}} \right)\\ = {v_c} \cdot \frac{1}{{\pi \cdot {R^2}}} \cdot \left( {\frac{{\pi \cdot {R^2}}}{2}} \right)\\ = \frac{{{v_c}}}{2}\end{array}\)

1.2.2.3.2 Alternatieve berekening

\({v_m} = \frac{1}{A}\int\limits_A {v \cdot dA}\)

De integraal in deze uitdrukking komt overeen met de inhoud van de snelheidsprofielparaboloïde. De inhoud van een paraboloïde is gelijk aan de helft van de inhoud van de omschreven cilinder, zodat:

\(\begin{array}{l}\quad \quad \int\limits_A {v \cdot dA} = \frac{{A \cdot {v_c}}}{2}\\{v_m} = \frac{{{v_c}}}{2}\end{array}\)

1.3 Wet van Bernoulli: veralgemening en correcties

1.3.1 Uitgangspunten

We herformuleren de resultaten bekomen in vorig hoofdstuk voor een 1-dimensionele stroming, voornamelijk in leidingsinstallaties, en maken ze toepasbaar in een veralgemeende versie ervan, die geschikt is om reële stromingen in reële installaties te bestuderen via correctietermen, stromingsweerstandstermen (wrijvingsenergieverliezen) en bijkomende (toegevoegde- en verbruiksenergie) energietermen.

We vertrekken van de formulering 5.2 op p. VS.28 en de toepassingsvoorwaarden ervan, die geformuleerd werden op p. VS.23.

voor alle punten i en j van eenzelfde stroomlijn geldt dat op een ogenblik t:

\[\frac{{{p_i}}}{{\rho g}} + \frac{{v_i^2}}{{2g}} + {h_i} = \frac{{{p_j}}}{{\rho g}} + \frac{{v_j^2}}{{2g}} + {h_j} = {H_{str}} = cte\]

op voorwaarde dat:

• de vloeistof niet samendrukbaar is

• de gravitatieveld het enige uitwendige krachtenveld is

• de stroming stationair is

• de stroming (nagenoeg) verliesvrij is (geen viscositeit, geen wrijving)

1.3.2 Termcorrecties - verwaarloosbaar

In vorige paragraaf hebben we reeds gemeld dat elke individuele term zou moeten gecorrigeerd worden omdat we in het voorgestelde stromingsmodel werken met de gemiddelde snelheid over dwarsdoorsnedes, die het rëele debiet realiseert, maar die niet zo maar kan doorgetrokken worden naar de andere stromingsgrootheden. Bij zeer nauwkeurige berekeningen, in het geval bijvoorbeeld van precisiemeettoestellen of bij het berekenen van uitstroomsnelheden waarbij men moet rekening houden met contractiefenomenen, moeten de termen aangepast worden aan het gebruik van bovenstaande gemiddelde snelheid. Er mee rekening houdend dat er nog andere benaderingen gebruikt worden in het opstellen van de stromingswetten, vallen deze correcties echter in de meeste reële problemen erg klein uit zodat ze meestal kunnen verwaarloosd worden. In deze cursus houden we geen rekening met deze correctiecoëfficiënten.

1.3.3 Weerstandsverliezen

De laatste toepassingsvoorwaarde, de (niet aangedreven) verliesvrije stroming van invisceuze vloeistoffen is wel een belangrijke benadering. Vergeten we immers niet dat de wet van Bernoulli, zoals we ze hiervoor geschreven hebben, de Euleriaanse expressie is van het principe van behoud van energie of van de energiebalans in een installatie, dus wanneer er noch sprake is van systemen die energie aan de stromende vloeistoffen toevoegen of eruit onttrekken noch van het verlies van energie die via wrijvingsarbeid en/of –warmte vanuit de stromende vloeistof naar de thermische en/of de mechanische omgeving afgevoerd wordt. Wrijvingsverliezen in de leidingen en in allerlei apparaten kunnen evenwel substantieel oplopen. Deze leidingsverliezen worden uitgedrukt in functie van de snelheidshoogte via volgende betrekkingen:

\({H_{wl}} = \lambda \frac{l}{d}\frac{{{v^2}}}{{2g}}\quad \quad {\text{en}}\quad \quad {H_{wl}} = \varsigma \frac{{{v^2}}}{{2g}}\)

Hoe deze verliezen kunnen ingeschat worden komt aan bod in een volgend hoofdstuk. Ze worden weerstandshoogte genoemd en we noteren ze als verliesterm op de plaats waar ze zich voordoen wanneer we de wet van Bernoulli uitschrijven tussen 2 doorsnedes i en j in de richting van de stroming:

\(\frac{{{p_i}}}{{\rho g}} + \frac{{v_i^2}}{{2g}} + {h_i} - {H_w} = \frac{{{p_j}}}{{\rho g}} + \frac{{v_j^2}}{{2g}} + {h_j}\)

Het spreekt voor zich dat de totale energiehoogte niet meer constant blijft over de gehele leidingsinstallaties maar dat ze tussen verschillende doorsnedes lokaal dan wel gestaag afneemt in de richting van de stroming.

1.3.4 Veralgemeende wet van Bernoulli

Ook de energiewaarde die sommige toestellen, zoals pompen en compressoren, aan het stromend fluïdum toevoegen of, zoals water- of luchtturbines, van het stromend fluïdum wegnemen, kunnen via hun energiehoogte-equivalent aan de vergelijking toegevoegd worden. Dit levert de veralgemeende uitdrukking van de wet van Bernoulli, voor bijvoorbeeld de installatie van figuur 12, zoals we ze verder in deze cursus zullen gebruiken:

\(\frac{{{p_1}}}{{\rho \cdot g}} + \frac{{{v_1}^2}}{{2 \cdot g}} + {h_1} - {H_{wl}} + {H_P} - {H_{afg}} = \frac{{{p_2}}}{{\rho \cdot g}} + \frac{{{v_2}^2}}{{2 \cdot g}} + {h_2}\)

\({H_P}\): de energiehoogte die door de pomp via het energie-transfermechanisme arbeid vanuit de omgeving aan het stromende fluïdum wordt toegevoegd;

\({H_{afg}}\): de energiehoogte die via het energie-transfermechanisme arbeid door het stromende fluïdum aan een verbruiksmachine naar de omgeving wordt afgeleverd;

\({H_{wl}}\): de energiehoogte die via wrijving in het stromende fluïdum verloren gaat en gedissipeerd wordt in de omgeving.

1.3.5 Wet van Bernoulli en eerste hoofdwet van de thermodynamica

Door aan de mechanische energietermen in de veralgemeende energiewet van Bernoulli nog een temperatuurgebonden energieterm toe te voegen samen met termen die energietoe- of afvoer via het energie-transfermechanische warmte vertegenwoordigen, gaat deze naaadloos over in de eerste hoofdwet van de thermodynamica, waarmee ook thermische stromingsproblemen van samendrukbare fluïda en thermische machines energetisch kunnen beschreven worden via gelijkaardige methodes als diegene die we in deze cursus gebruiken. De bewegings-vergelijkingen van Euler moeten dan eveneens uitgebreid worden met de parameter temperatuur T en met toestandsvergelijkingen zoals de ideale of de reële gaswet. Deze vraagstukken laten we over aan de vervolgcursus Thermodynamica.

1.4 Meting van stromingsgrootheden

1.4.1 Piëzometer—hydraulische druk

1.4.1.1 Stroombeeld

In figuur 4(a) wordt de hydraulische druk gemeten door een buis aan te brengen in de wand van de leiding zodat de stromende vloeistof daarin tot een hoogte \({h_3}\)opstijgt en tot rust komt. Indien goed uitgevoerd, lopen de stroomlijnen mooi rakelings langs de instroomopening van deze buis. In gedachten trekken we deze drukmeterbuis door tot aan de hartlijn van de leiding. We nemen dus aan dat het over een (gemiddelde) uniforme hydraulische druk gaat over de volledige doorsnede van de leiding en geldig voor alle stroomlijnen. Daniël Bernoulli, een gerenomeerde arts, gebruikte deze methode voor het meten van de bloeddruk en gaf daarmee fysisch uiting van zijn basisidee dat stroomsnelheid en hydraulische druk onafscheidelijk samengaan: een hogere bloeddruk wijst op een lagere bloedstroomsnelheid in de aders. Nog tientallen jaren nadien werd deze erg invasieve methode van bloeddrukmeting algemeen in praktijk gebracht. Deze meetsituatie is geschikt om niet al te hoge drukken te meten.

Figuur 4(b) stelt een piëzometertoestel voor, dat geschikt is om ook hoge drukken te meten. Het meettoestel wordt in een stromende vloeistof gebracht met de instroomopening evenwijdig aan de stroomrichting zodat de linkerzijde van de U-vormige meetbuis onder invloed van de hydraulische druk gevuld wordt met deze vloeistof tot ze daarin tot rust komt. Indien we een overdruk hebben in de leiding zal de spervloeistof in het linkergedeelte naar beneden en in het rechtergedeelte van de U-buis naar boven geduwd worden. Het hoogteverschil van de spervloeistof in de 2 benen van de U-buis is een maat voor de hydraulische of piëzometrisch druk in de stromende vloeistof.

In beide uitvoeringen gaan de strooomlijnen in de stromende vloeistof vanaf het scheidingsvlak tussen stromende en stilstaande vloeistof over in de ‘drukevenwichtstoestandslijn’ in de stilstaande vloeistof ( zie p. DE.10, waar we deze als een bijzonder geval van ‘statische stroomlijnen’ beschreven). Let hierbij goed op het feit dat de druk in de wet van Bernoulli afkomstig is van de weggesneden vloeistof, het gaat dus om de druk in de stilstaande vloeistof net na het scheidingsvlak. We schrijven de stromingswetten op een bepaald ogenblik langsheen deze uitgebreide stroomlijn:

1.4.1.2 Stromingsvergelijkingen - uitvoering figuur 4(a)

1.4.1.2.1 Bernoulli (dynamisch en hydrostatische evenwicht)

in stromend gedeelte van de vloeistof :

\(\frac{{{p_1}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}\)

in stilstaande gedeelte van de vloeistof:

Bernoulli-notatie: Euler(druk-)notatie

\(\frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_2} = \frac{{{p_3}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_3}\) \({p_2} = {p_3} + {\rho _{Vl}}g{h_3}\)

1.4.1.2.2 Castelli

\({v_1} = {v_2}\)

1.4.1.2.3 Referenties

\(\left\{ \begin{array}{l}{h_1} = {h_2} = 0\\{p_{rel}}\quad \Rightarrow \quad {p_3} = {p_{atm}} = 0\end{array} \right.\)

1.4.1.2.4 Hieruit

\({p_1} = {p_2} = {\rho _{Vl}}g{h_3}\)

1.4.1.3 Stromingsvergelijkingen - uitvoering figuur 4(b)

1.4.1.3.1 Bernoulli (dynamisch en hydrostatische evenwicht)

in stromende gedeelte van de vloeistof :

\(\frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}\)

in stilstaande gedeelte van de vloeistof:

Bernoulli-notatie: Euler(druk-)notatie

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_2} = \frac{{{p_3}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_3}\\\frac{{{p_3}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_3} = \frac{{{p_4}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_4}\\\frac{{{p_4}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_4} = \frac{{{p_5}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_5}\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}{p_3} = {p_2} + {\rho _{Vl}}g{h_3}\\\\{p_3} = {p_4}\\\\{p_4} = {p_5} + {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right)\end{array} \right.\)

1.4.1.3.2 Castelli

\({v_1} = {v_2}\)

1.4.1.3.3 Referenties

\(\left\{ \begin{array}{l}{h_1} = {h_2} = 0\\{p_{rel}}\quad \Rightarrow \quad {p_5} = {p_{atm}} = 0\end{array} \right.\)

1.4.1.3.4 Hieruit

\({p_1} = {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right) - {\rho _{Vl}}g{h_3} = {\rho _{sp}} \cdot g \cdot \Delta h - {\rho _{Vl}} \cdot g \cdot {h_3}\)

1.4.1.4 Opmerking

Om de druk in de leiding te bepalen/meten moet niet alleen het niveauverschil \(\Delta h = \left( {{h_5} - {h_4}} \right)\)en de dichtheid \({\rho _{sp}}\)van de spervloeistof in de U-buis gekend zijn, maar ook de afstand \({h_3}\)en de dichtheid \({\rho _{Vl}}\)van de stromende vloeistof. Alleen wanneer deze laatste dichtheid veel kleiner is, bijvoorbeeld in het geval van stromende lucht, dan de dichtheid van de gebruikte spervloeistof, bijvoorbeeld kwik, in de U-buis dan kan de tweede term worden verwaarloosd: \({\rho _{Vl}} \ll {\rho _{sp}}\quad \Rightarrow \quad {p_1} \simeq {\rho _{sp}}g\left( {\Delta h} \right)\)

1.4.1.5 Numeriek voorbeeld

In de leiding stroomt water en in de U-vormige meetbuis wordt kwik als spervloeistof gebruikt, met volgende gegevens:

\[\begin{array}{l}{\rho _W} \cdot g = 9,81 \cdot {10^3}\,N/{m^3}\\{\rho _K} \cdot g = 133 \cdot {10^3}\,N/{m^3}\end{array}\]

Men leest bij deze meting volgende waarden af:

\(\left\{ \begin{array}{l}{h_3} = 180\;cm\\\left( {{h_5} - {h_4}} \right) = 0,6\;m\end{array} \right.\)

1.4.1.5.1 Bepaal

1. de overdruk in de leiding en

2. de stijghoogte die het water zou bereiken bij gebruik van een een vertikale meetbuis in de leidingswand

1.4.1.5.2 Oplossing

De hydraulische druk in de leiding bedraagt:

\({p_1} = {\rho _k}g\left( {{h_5} - {h_3}} \right) - {\rho _W}g{h_3}\)

\({p_1} = 133 \cdot {10^3} \cdot 0,6 - 9,81 \cdot {10^3} \cdot 1,8\;Pa\)

\({p_1} = (79,8 - 17,7) \cdot {10^3}\;Pa\)

\({p_1} = 62,1\;kPa\) overdruk

De tweede term is in dit geval niet verwaarloosbaar.

De stijghoogte in een verticale meetbuis is in dit geval:

\({h_3} = \frac{{{p_1}}}{{{\rho _{Vl}}g}} = \frac{{62,1 \cdot {{10}^3}}}{{9,81 \cdot {{10}^3}}} = 6,33\;m\)

Deze opstijghoogte is veel te hoog om praktisch te gebruiken.

1.4.1.6 Oefening

Bereken hoeveel het hoogteverschil van de spervloeistof in de U-buis zou bedragen, indien er niet water maar lucht door de leiding zou stromen onder dezelfde overdruk met \({\rho _L} \cdot g = 12N/{m^3}\).

1.4.2 Prandtl-buis: totale druk

1.4.2.1 Stroombeeld

In figuur 5(a) wordt in de leiding een meetbuis aangebracht waarvan de openingsdoorsnede ter hoogte van de hartlijn loodrecht staat op de richting van de stroming. De stromende vloeistof stijgt onder invloed van de som van de dynamische en de hydraulische druk op in deze buis en komt daarin tot rust. De hoogte van de stilstaande vloeistof in de meetbuis is een maat voor de som van de hydraulische en dynamische druk, die we vroeger de totale druk in de leiding hebben genoemd. Deze meetmethode is geschikt indien de totale druk in de leiding niet al te hoog oploopt.

Figuur 5(b) stelt een Prandtl-meettoestel dat geschikt is om ook hogere totale drukken te meten. Het meettoestel wordt in een stromende vloeistof gebracht met de instroomopening loodrecht op de stroomrichting zodat de linkerzijde van de U-vormige meetbuis onder invloed van de totale druk gevuld wordt met deze vloeistof tot ze daarin tot rust komt. Het hoogteverschil van de spervloeistof in de benen van de U-buis is een maat voor de som van de hydraulische en dynamische druk in de stromende vloeistof. Bij een overdruk in de leiding zal de spervloeistof in het linkergedeelte naar beneden en in het rechtergedeelte van de U-buis naar boven geduwd worden.

In beide uitvoeringen gaan, net zoals in 4.1. , de stroomlijnen, in de stromende vloeistof vanaf het scheidingsvlak tussen stromende en stilstaande vloeistof over in de ‘drukevenwichtstoestandslijn’ We schrijven de stromingswetten op een bepaald ogenblik langsheen deze uitgebreide stroomlijn:

1.4.2.2 Stromingsvergelijkingen - uitvoering figuur 5(a)

1.4.2.2.1 Bernoulli (dynamisch en hydrostatisch evenwicht)

in het stromend gedeelte van de vloeistof :

\(\frac{{{p_1}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_2}\)

in het stilstaande gedeelte van de vloeistof:

Bernoulli-notatie: Euler(druk-)notatie

\(\frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_2} = \frac{{{p_3}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_3}\) \({p_2} = {p_3} + {\rho _{Vl}}g{h_3}\)

1.4.2.2.2 Castelli

\({v_1} = {v_2}\)

1.4.2.2.3 Referenties

\(\left\{ \begin{array}{l}{h_1} = {h_2} = 0\\{p_{rel}}\quad \Rightarrow \quad {p_3} = {p_{atm}} = 0\end{array} \right.\)

1.4.2.2.4 Hieruit

\(\begin{array}{l}{h_3} = \frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} = \frac{{{p_1}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{{v_1}^2}}{{2g}}\\{p_2} = {p_1} + \frac{{{\rho _{Vl}}{v_1}^2}}{2} = {\rho _{Vl}} \cdot g \cdot {h_3}\end{array}\)

1.4.2.3 Uitvoering figuur 5(b)

1.4.2.3.1 Bernoulli (dynamisch en hydrostatisch evenwicht)

in het stromende gedeelte van de vloeistof :

\(\frac{{{p_1}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_2}\)

in het stilstaande gedeelte van de vloeistof:

Bernoulli-notatie: Euler(druk-)notatie

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_2} = \frac{{{p_3}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_3}\\\frac{{{p_3}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_3} = \frac{{{p_4}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_4}\\\frac{{{p_4}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_4} = \frac{{{p_5}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_5}\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}{p_3} = {p_2} + {\rho _{Vl}}g({h_3} - {h_2})\\\\{p_4} = {p_3}\\\\{p_4} = {p_5} + {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right)\end{array} \right.\)

1.4.2.3.2 Castelli

\({v_1} = {v_2}\)

1.4.2.3.3 Referenties

\(\left\{ \begin{array}{l}{h_0} = 0\\{p_{rel}}\quad \Rightarrow \quad {p_3} = {p_{atm}} = 0\end{array} \right.\)

1.4.2.3.4 Hieruit

\({p_2} = {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right) - {\rho _{Vl}}g{h_3} = {p_1} + \frac{{{\rho _{Vl}}{v_1}^2}}{{2g}}\)

1.4.2.4 Opmerkingen

Om de druk in de leiding te bepalen/meten moet niet alleen het niveauverschil \(\Delta h = \left( {{h_5} - {h_4}} \right)\)en de dichtheid \({\rho _{sp}}\) van de spervloeistof in de U-buis gekend te zijn, maar ook de afstand \({h_3}\)en de dichtheid \({\rho _{Vl}}\) van de stromende vloeistof. Alleen wanneer deze laatste dichtheid veel kleiner is, bijvoorbeeld in het geval van stromende lucht, dan de dichtheid van de gebruikte spervloeistof, bijvoorbeeld kwik, in de U-buis dan kan de tweede term worden verwaarloosd: \(\rho \ll {\rho _{sp}}\quad \Rightarrow \quad {p_1} \simeq {\rho _{sp}}g\left( {\Delta h} \right)\)

In figuur 17 van hoofdstuk VS werden in 3 doorsnedes van de leiding de uitvoeringen (a) van de piëzometer en van de Prandtl-buis aangebracht. De opstijghoogtes in elk van deze meetbuizen komen overeen met respectievelijk de piëzometrische en de theoretische la-dingslijn.

Door de Prandtl-buis in een stromend fluïdum in te brengen creëert men een vast obstakel voor de stromende vloeistof. De vloeistofdeeltjes botsen tegen de wanden van het toestel zelf en tegen de stilstaande vloeistofdeeltjes in de meetbuis. Hierdoor valt de snelheid ter hoogte van het botsingspunt op nul, terwijl de druk daar lokaal toeneemt. Men noemt dit botsingspunt het stagnatiepunt en de bijbehorende totale druk de stagnatiedruk. De Prandtl-buis wordt daarom ook stagnatiebuis of soms de totale-druk-buis genoemd. De stagnatiedruk is de hoogste druk die langsheen een stroomlijn kan optreden.

Het stagnatiepunt speelt een belangrijke rol, bijvoorbeeld bij het ontwerpen van gestroomlijnde objecten, zoals de neus van een vliegtuig of van een racewagen. In feite neemt de stroomsnelheid niet plots af in de stroming: in de botsing met het object botsen een aantal vloeistofdeeltjes terug en er ontstaan wervelingen in de stroming waardoor de stroomlijnen afbuigen en de gemiddelde snelheid over de regio voor het stagnatiepunt afneemt, terwijl de druk er op een gelijkaardige manier toeneemt, tot de stagnatiedruk werd bereikt ter hoogte van het stagnatiepunt, waar de snelheid nul is. Figuur 6 stelt deze evolutie van de druk langsheen de stroomlijn voor in het geval van een bol.

1.4.3 Pitot-buis

1.4.3.1 Stroombeeld

De Pitotbuis voorgesteld in figuur 7 wordt in een stromende vloeistof gebracht met één instroomopening loodrecht op de stroomrichting en de tweede evenwijdig aan de stroomrichting. De linkerzijde van de U-vormige meetbuis wordt onder invloed van de totale druk, de rechterzijde onder invloed van de hydraulische druk, gevuld met de stromende vloeistof tot ze daarin tot rust komt. Het hoogteverschil van de spervloeistof in de benen van de U-buis is een maat voor het verschil tussen deze 2 drukken, de dynamische druk en/of de snelheidsdrukhoogte en daarom voor de snelheid.

1.4.3.2 Stromingsvergelijkingen - configuratie (b)

1.4.3.2.1 Bernoulli (dynamisch en hydrostatisch evenwicht)

in het stromende gedeelte van de vloeistof :

\(\frac{{{p_1}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_2}\)

\(\frac{{{p_1}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_6}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{v_6^2}}{{2g}} + {h_6}\)

in het stilstaande gedeelte van de vloeistof:

Bernoulli-notatie: Euler(druk-)notatie

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_2} = \frac{{{p_3}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_3}\\\frac{{{p_3}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_3} = \frac{{{p_4}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_4}\\\frac{{{p_4}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_4} = \frac{{{p_5}}}{{{\rho _{sp}}g}} + {h_5}\\\frac{{{p_5}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_5} = \frac{{{p_6}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + {h_6}\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}{p_3} = {p_2} + {\rho _{Vl}}g({h_3} - {h_2})\\\\{p_4} = {p_3}\\\\{p_4} = {p_5} + {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right)\\\\{p_5} = {p_6} + {\rho _{Vl}}g({h_6} - {h_5})\end{array} \right.\)

1.4.3.2.2 Castelli

\({v_1} = {v_6}\)

1.4.3.2.3 Referenties

\(\left\{ \begin{array}{l}{h_1} = {h_2} = {h_6} = 0\\{p_{rel}}\end{array} \right.\)

1.4.3.2.4 Hieruit

\({p_1} = {p_6}\)

\(({p_2} - {p_6}) = {\rho _{Vl}}\frac{{v_1^2}}{2}\)

en

\({p_6} + {\rho _{Vl}}g({h_6} - {h_5}) + {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right) = {p_2} + {\rho _{Vl}}g({h_3} - {h_2})\)

\(({p_2} - {p_6}) = {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right) + {\rho _{Vl}}g({h_6} - {h_5}) - {\rho _{Vl}}g({h_3} - {h_2})\)

\({\rho _{Vl}}\frac{{v_1^2}}{2} = {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right) - {\rho _{Vl}}g({h_5} - {h_6}) - {\rho _{Vl}}g({h_3} - {h_2})\)

\({\rho _{Vl}}\frac{{v_1^2}}{2} = {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right) - {\rho _{Vl}}g{h_5} - {\rho _{Vl}}g{h_3}\)

\({\rho _{Vl}} \cdot \frac{{v_1^2}}{2} = {\rho _{sp}} \cdot g \cdot \Delta h - {\rho _{Vl}} \cdot g \cdot {h_5} - {\rho _{Vl}} \cdot g \cdot {h_3}\)

1.4.3.3 Opmerkingen

Opnieuw merken we de beperkingen van het gebruik van een U-vormige meetbuis met spervloeistof: men moet 3 metingen verrichten en de dichtheid van de stromende vloeistof kennen. Alleen wanneer \(\rho \ll {\rho _{sp}}\quad \Rightarrow \quad {\rho _{Vl}} \cdot \frac{{v_1^2}}{2} \simeq {\rho _{sp}} \cdot g \cdot \Delta h\)

Pitot-buizen worden vaak gebruikt in de luchtvaart en op racewagens om de snelheid van de voertuigen te meten via een luchtdrukmeting. (zie toepassing 6.7-p. BE.38)

In figuur 8 worden de drie metingen in één meettoestel gecombineerd. Het gebruik van een U-vormige meetbuis met een spervloeistof schept allerlei meet- en ijkproblemen. Tegenwoordig wordt gebruik gemaakt van druksensors, die toelaten de voorgaande drukken direct te meten. De analyse via de stilstaande vloeistof vervalt dan:

• piëzometer: hydraulische of statische druk

• prandtl-drukmeter: som van de hydraulische en de dynamische druk

• pitot-drukmeter: de dynamische druk

1.4.3.4 Numeriek voorbeeld

Door de leiding van figuur 9 stroomt lucht met een dichtheid \({\rho _L} = 1,2\,kg/{m^3}\). Als spervloeistof in de U-buizen gebruikt men water.

1. In welk been van de Pitot-buis staat het peil het laagst?

In het linkerbeen. In de linkerzijde is de totale druk werkzaam tegenover de hydraulische druk in de rechterzijde.

1. Hoeveel bedraagt de luchtsnelheid als het niveauverschil in de Pitot-buis 24 mm bedraagt? Vermits de dichtheid van de spervloeistof meer dan 800 keer groter is dan de dichtheid van de stromende lucht mogen we de hoogteverschillen van de lucht in de U-buis verwaarlozen, zodat:

\(\begin{array}{l}{p_{dyn}} = {\rho _{Vl}}\frac{{{v_L}^2}}{2} = 24\;mmWK = 24 \cdot 9,81\;Pa\\{v_L}^2 = \frac{{2 \cdot {p_{dyn}}}}{{{\rho _{Vl}}}} = \frac{{2 \cdot 24 \cdot 9,81}}{{1,2}}\\{v_L} = 19,8\;m/s\end{array}\)

1. In welk been van de piëzometer staat het peil het laagst?

In het linkerbeen als er in de leiding een overdruk heerst.

In het rechterbeen als er in de leiding een onderdruk heerst.

1. Stel dat in de piëzometer in het linkerbeen het waterpeil 40 mm lager staat dan in het rechterbeen (figuur 9). Hoeveel bedraagt dan de totale druk in de leiding?

Pitotbuis: \({p_{dyn}} = 24\;mmWK\)

Piëzometer: \({p_{hyd}} = \;40\;mmWK\;overdruk\)

Prandtl: \({p_{tot}} = \;{p_{dyn}} + {p_{hyd}} = 24 + 40 = 64\;mmWK\)

1. Stel dat in de piëzometer in het linkerbeen het waterpeil 40 mm hoger staat dan in het rechterbeen (figuur 10). Hoeveel bedraagt dan de totale druk in de leiding?

Pitotbuis: \({p_{dyn}} = 24\;mmWK\)

Piëzometer: \({p_{hyd}} = \;40\;mmWK\;onderdruk\)

Prandtl: \({p_{tot}} = \;{p_{dyn}} + {p_{hyd}} = 24 - 40 = - 16\;mmWK\)(onderdruk)

1.5 Venturi-effect

Door de horizontale leiding van figuur 11 stroomt vloeistof. De leiding vernauwt zodat de snelheid toeneemt van \({v_1}\)naar\({v_2}\). Met een piëzometer en Prandtl-buis kunnen we de statische en de totale drukhoogte in twee doorsnedes meten. De dynamische drukhoogte is toegenomen (\({v_2} \> {v_1}\)), terwijl men kan constateren dat de totale drukhoogte constant blijft, wat in overeenstemming is met de wet van Bernoulli. Dit betekent dat de statische drukhoogte, gemeten in de piëzometer, in doorsnede 2 moet afgenomen zijn. t.o.v. deze in doorsnede 1.

Dit betekent dus dat de druk verlaagt wanneer de snelheid verhoogt of omgekeerd dat de druk verhoogt wanneer de snelheid verlaagt. Indien we de statische druk in de vloeistof willen verlagen volstaat het de vloeistof doorheen een convergerende leiding te sturen. Anderzijds kunnen we de snelheid doen afnemen en de druk doen stijgen door de vloeistof door een divergerend kanaal te sturen.Toepassingen van dit principe vinden we o.a. in

• de waterstraalpomp

• de centrifugaalpomp

• de Venturibuis.

1.5.1 Waterstraalpomp

Een waterstraalpomp (figuur 12) bestaat in hoofdzaak uit een convergerende straalpijp verbonden aan een waterleiding. Ter hoogte van de convergent is de zuigleiding aangesloten die leidt tot in de ruimte R waarin men een vacuüm wil bekomen. In de convergent stijgt de vloeistofsnelheid en daalt de druk. De convergent moet zo berekend worden dat de einddruk lager is dan de gewenste einddruk in het reservoir R. In de convergent zitten meestal torsieschoepen zodat het water een beweging krijgt die het meevoeren van lucht bevordert. De druk van het mengsel water en lucht wordt in de divergent terug verhoogd tot de atmosferische druk.

1.5.2 Centrifugaalomp

Een centrifugaalpomp (figuur 13) bestaat in hoofdzaak uit een waaier die aan het roteren wordt gebracht door een motor. Bij middel van de schoepen van de roterende waaier in de centrifugaalpomp worden de vloeistofdeeltjes versneld en komen uit de waaier met een snelheid van bijvoorbeeld 12 m/s. Om de vloeistof op te vangen en naar de persleiding te geleiden is er rond de waaier een slakkenhuis of collector gemonteerd. Deze heeft een dubbel doel:

Het toenemend debiet verwerken:

Doorheen de opeenvolgende doorsnedes 2 tot en met 5 moet achtereenvolgens ¼, 2/4, ¾, 4/4 van het totale debiet stromen. Indien dit het enige doel van het slakkenhuis zou zijn dan zouden de oppervlakten van de opeenvolgende doorsnedes voldoen aan volgende voorwaarden:

\({A_3} = 2{A_2}\quad \quad {A_4} = 3{A_2}\quad \quad {A_5} = 4{A_2}\)

De dynamische druk, overeenkomstig met 12 m/s, omzetten in statische druk.

De opeenvolgende secties nemen veel meer toe zodat de snelheid in de collector afneemt tot bijvoorbeeld 2 m/s. De statische drukverhoging vindt dus plaats in de collector door het doen afnemen van de snelheid. Op het slakkenhuis volgt nog een divergent (van doorsnede 5 naar 6). Het doel ervan is de vloeistof die uit de waaier vliegt tussen doorsnedes 4 en 5 ook een snelheidsvermindering te geven van 12 m/s tot 2 m/s en zodoende ook de druk te verhogen.

1.5.3 Venturibuis: debietsmeting

1.5.3.1 Stroombeeld

De venturibuis (figuur 14) wordt gebruikt om het debiet in een leiding te meten. Zij wordt in een horizontale leiding geplaatst en bestaat uit een geleidelijk vernauwend gedeelte gevolgd door een geleidelijke verwijding tot op de oorspronkelijke diameter. De oppervlakten A₁ en A₂ in de doorsnedes 1 en 2 zijn nauwkeurig gekend. We verwaarlozen de weerstand in de venturibuis (later moet deze wel in rekening gebracht worden). Het drukverschil tussen 1 en 2 wordt via een U-vormige manometer opgemeten. Het opgemeten hoogteverschil in de U-buis kan in verband gebracht worden met het drukverschil tussen doorsnedes 1 en 2 en met het debiet dat door de leiding stroomt. We tekenen de stroomlijnen en breiden deze uit met de drukevenwichtslijn in de stilstaande vloeistof van de U-buis.

1.5.3.2 Stromingsvergelijkingen

1.5.3.2.1 Bernoulli (dynamisch en hydrostatisch evenwicht)

in het stromende gedeelte van de vloeistof

\(\frac{{{p_1}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{{\rho _{Vl}}g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}\)

in het stilstaande gedeelte gedeelte van de vloeistof

\(\left\{ \begin{array}{l}{p_3} = {p_1} + {\rho _{Vl}}g({h_1} - {h_3})\\{p_4} = {p_3}\\{p_4} = {p_5} + {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right)\\{p_5} = {p_2} + {\rho _{Vl}}g({h_2} - {h_5})\end{array} \right.\)

1.5.3.2.2 Castelli

1.5.3.2.3 \(q = {v_1} \cdot {A_1} = {v_2} \cdot {A_2}\)

1.5.3.2.4 Referentie

\({h_1} = {h_2}\)

1.5.3.2.5 Waaruit

\(\frac{{{p_1} - {p_2}}}{{{\rho _{Vl}}}} = \frac{{v_2^2 - v_1^2}}{2} = \frac{{v_2^2}}{2}(1 - \frac{{{A_2}^2}}{{{A_1}^2}})\)

\({v_2} = \sqrt {\frac{2}{{(1 - \frac{{{A_2}^2}}{{{A_1}^2}})}}} \cdot \sqrt {\frac{{({p_1} - {p_2})}}{{{\rho _{Vl}}}}}\)

\(q = {A_2} \cdot \sqrt {\frac{2}{{(1 - \frac{{{A_2}^2}}{{{A_1}^2}})}}} \cdot \sqrt {\frac{{\Delta p}}{{{\rho _{Vl}}}}}\)

1.5.3.2.6 en

\(\begin{array}{l}{p_2} + {\rho _{Vl}}g({h_2} - {h_5}) + {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right) = {p_1} + {\rho _{Vl}}g({h_1} - {h_3})\\{p_1} - {p_2} = {\rho _{sp}}g\left( {{h_5} - {h_4}} \right) - {\rho _{Vl}}g({h_5} - {h_4})\\{p_1} - {p_2} = ({\rho _{sp}} - {\rho _{Vl}})g\left( {{h_5} - {h_4}} \right)\\\Delta p = ({\rho _{sp}} - {\rho _{Vl}}) \cdot g \cdot \Delta h\end{array}\)

1.5.3.2.7 Zodat

\(q = {A_2} \cdot \sqrt {\frac{2}{{(1 - \frac{{{A_2}^2}}{{{A_1}^2}})}}} \cdot \sqrt {\frac{{\Delta p}}{{{\rho _{Vl}}}}}\)

\(q = {A_2} \cdot \sqrt {\frac{2}{{(1 - \frac{{{A_2}^2}}{{{A_1}^2}})}}} \cdot \sqrt {\frac{{{\rho _{sp}} - {\rho _{Vl}}}}{{{\rho _{Vl}}}} \cdot g \cdot \Delta h}\)

1.5.3.3 Bemerkingen

1. Tussen het debiet \(q\)en de drukval \(\Delta p\) bestaat er een kwadratisch verband. Dit verband wordt in controlekamers via elektronische weg op een lineaire display voor het debiet overgebracht.

2. Bovendien gebruikt men voor de drukmeting andere dan de traditionele U-vormige manometers, zodat de typische complexiteit van aflezen en omrekenen, daar ook vervalt of elektronisch opgelost wordt.

1.6 Numerieke voorbeelden: wet van Bernoulli en regel van Castelli

We volgen in alle voorbeelden consequent de werkmethode van pagina BE.44. De leidingsweerstanden H worden ofwel opgegeven of kunnen uit de geometrische of drukgegevens afgeleid worden. In volgend hoofdstuk behandelen we de methodes die beschikbaar zijn om ze in te schatten.

1.6.1 Uitstroomsnelheid

Het vloeistofreservoir voorgesteld in figuur 15, is gevuld met een vloeistof met dichtheid \(\rho\). De bodem van het reservoir is voorzien van een cirkelvormige uitstroomopening, die afgesloten wordt door een stop. Men verwijdert de stop uit de bodem van het vloeistofreservoir, waardoor de vloeistof in beweging komt en onderaan begint weg te stromen. Na een korte tijd ontstaat er, wanneer het, vergeleken met de uitstroomopening, over een zeer groot reservoir en vloeistofoppervlak gaat, een quasi-stationaire stroming. Bepaal in die veronderstelling, de snelheid waarmee de vloeistof uit het reservoir stroomt op het ogenblik dat het peil van het vrije horizontale vloeistofoppervlak zich 4 meter boven de bodem bevindt.

1.6.2 Oplossing

1.6.2.0.1 Stroombeeld

Er zal slechts een gedeelte van de vloeistof in het reservoir in beweging komen. Er ontstaat in de stilstaande vloeistof een stroombuis zoals in figuur 15(b) werd voorgesteld: de stroombuis wordt dieper onder het vrij vloeistofoppervlak meer en meer ‘dichtgeknepen’ door de uitwendige hydrostatische druk van de omgevende stilstaande vloeistof in het reservoir (figuur 15(c)). Figuur 15(d) geeft een ruimtelijk beeld van deze stroombuis. Omdat het om een axiaal-symmetrische stroombuis gaat kunnen we de stroming modelleren als een 1-dimensionele stroming via één stroomlijn die overeenstemt met de centrale as ervan. We veronderstellen een ideale vloeistof, maar beseffen dat het niet over een stationaire stroming gaat: het stroombeeld wijzigt weliswaar niet maar de grootte van de snelheid langsheen de stroomlijn wijzigt van ogenblik op ogenblik vermits ze afhankelijk is van het niveau van de vloeistof in het reservoir. Wanneer het over een groot reservoir gaat met een groot vloeistofoppervlak en een relatief kleine opening dan zal een quasi-stationaire benadering resultaten geven die redelijk goed overeenkomen met de realiteit.

1.6.2.0.2 Stromingswetten

1.6.2.0.2.1 Wet van Bernoulli

Tussen doorsnede 1 en 2: \(\frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}\)

1.6.2.0.2.2 Referenties

\({h_2} = 0\quad en\quad {p_{rel}}\)

\({p_1} = 0\quad \quad {v_1} \simeq 0\quad \quad {h_1} = 4\;m\quad \quad {v_2} = ?\quad \quad {p_2} = 0\)

Ter hoogte van de uitstroomopening is er in de vloeistofstroming een plotse drukval: zie figuur 15(c). Net voor de uitstroomopening is de hydraulische druk in de stroming nog gelijk aan de hydrostatische druk van de omgevende stilstaande vloeistof in het reservoir, net na de uitstroomopening valt deze plots weg en krijgen we de atmosferische druk. Gezien de afleiding van de evenwichtsvergelijkingen van Euler, die tot de wet van Bernoulli heeft geleid, moeten we in een doorsnede werken met de druk van de weggesneden vloeistof, dat is in dit geval de druk net na de uitstroomopening.

1.6.2.0.3 Waaruit

\({v_2} \simeq \sqrt {2 \cdot g \cdot {h_1}} \simeq 8,85\;m/s\)

1.6.3 Opmerkingen

1. Deze vergelijking staat ook bekend als de regel van Torricelli. De uitstroomsnelheid komt overeen met de snelheid van een voorwerp dat zonder wrijving vanaf dezelfde hoogte h zou vallen. Het is alsof de vloeistofdeeltjes in een omgeving van ideale vloeistof zonder wrijving langsheen hun gebogen stroomlijn glijden, die bij een stationaire stroming ook de stroombaan is. Let wel: de aanpak van Euler legt het verband tussen de toestandsgrootheden in verschillende punten van eenzelfde stroomlijn op eenzelfde ogenblik, terwijl in de aanpak van Lagrange eenzelfde vloeistofdeeltje in zijn beweging van boven naar beneden langsheen de stroombaan gevolgd wordt op verschillende ogenblikken.

2. De sterke drukval ter hoogte van de uitstroomopening kan vergeleken worden met het gedrum wanneer een grote groep personen tegelijk een zaal wil betreden of verlaten of een overvolle bus of tram willen verlaten langsheen een eerder smalle doorgang. Vóór de doorgang voelen de personen een toenemende druk vanwege de personen in hun omgeving die dezelfde doorgang willen bereiken. Eens de doorgang gepasseerd valt deze (bijkomende) druk plots weg.

1.6.4 Overslagsnelheid

Twee zeer grote waterreservoirs zijn met elkaar verbonden door een leiding (fig.16). Boven het vloeistofoppervlak heerst de atmosferische druk \({p_a}\). Bepaal:

1. de snelheid \({v_2}\), waarmee het water in het tweede reservoir stroomt;

2. de druk in doorsnede 3 op 2 meter boven het referentievlak.

Reken met \(g = 10\,\,m/{s^2}\) en \(\rho = 1000\,kg/{m^3}\).

1.6.5 Oplossing

1.6.5.0.1 Het stroombeeld (zie ook fig. 17)

Net zoals in vorig voorbeeld kunnen we bij een relatief grote reservoirs en uitgestrekte vrije oppervlakken de stroming bekijken als quasi-stationair, waarbij er in het bovenste reservoir slechts een gedeelte van de vloeistof in het reservoir in beweging komt met een gelijkaardig stroombeeld als dat in vorig vraagstuk, te modelleren als een 1-dimensionele stroming via één centrale stroomlijn. Deze stroomlijn loopt verder in de verbindingsleiding tot aan doorsnede 2, waar de stromende vloeistofdeeltjes tegen een ‘wand’ botsen van nagenoeg stilstaande vloeistofdeeltjes in het onderste reservoir. Omdat de stromende vloeistofdeeltjes niet in de leiding kunnen afbuigen zoals dat bij een stagnatiepunt het geval is, zullen ze de vloeistofwand binnendringen, uitdwarrelen en zo in de omgeving van de instroomopening hun snelheid verliezen wegens wrijving. Modelmatig nemen we aan dat de vloeistofdeeltjes net na doorsnede 2 in het reservoir in rust zijn en de bewegende deeltjes die uit de leiding het reservoir binnendringen hiermee plastisch botsen waardoor ze plots hun snelheid en de daarbij behorende kinetische energie verliezen. We kunnen de stroomlijn vanaf doorsnede 2 uitbreiden met de hydrostatische evenwichtslijn van Euler. Verschillend met het model gebruikt in de omgeving van het stagnatiepunt, waar de dynamische druk aanleiding geeft tot een extra hydraulische druk en opstuwing in de stilstaande vloeistof, rekenen we hier met een energiehoogte-verliesterm die overeenkomt met de dynamische druk die we, de plastische botsing indachtig, het stootverlies of het stagnatieverlies zouden kunnen noemen:

\({H_{Stw}} = \frac{{{v_2}^2}}{{2g}}\)

1.6.5.0.2 Stromingsvergelijkingen (op het aangegeven ogenblik)

1.6.5.0.2.1

1.6.5.0.2.2 Bernoulli

tussen 1 en 2: \(\frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}\)

tussen 1 en 3: \(\frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_3}}}{{\rho g}} + \frac{{v_3^2}}{{2g}} + {h_3}\)

tussen 2 en 4: \({p_2} = \rho \cdot g \cdot {h_4}\)

1.6.5.0.2.3 Castelli

tussen 3 en 2: \({v_3} = {v_2}\)

1.6.5.0.2.4 Referenties en gegevens

\({h_2} = 0\quad {\text{en}}\quad {p_{rel}}\)

\({p_1} = 0\quad {v_1} \simeq 0\quad {h_1} = 10\;m\quad {v_2} = ?\quad {h_3} = 2\;m\quad {h_4} = 4\;m\)

1.6.5.0.3 Waaruit

\({v_2} = \sqrt {2g({h_1} - {h_4})} = \sqrt {2 \cdot 10 \cdot (10 - 4)} = 10,95\;m/s\)

Deze vergelijking wordt eveneens de regel van Torricelli genoemd.

\(\begin{array}{l}{h_1} = \frac{{{p_3}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_3}\\10 = \frac{{{p_3}}}{{\rho g}} + 6 + 2\\{p_3} = 2\rho g = 2 \cdot {10^4}Pa = 20\,kPa = 0,2\,bar\;{\text{overdruk}}\end{array}\)

Opmerkingen:

Bij de bespreking van het stroombeeld hebben we vermeld dat er ter hoogte van doorsnede 2 energieverlies optreedt bij de plastische botsing van vloeistofdeeltjes tegen een wand van stilstaande vloeistofdeeltjes. De energielijn, dat is het verloop van de energiehoogte langsheen een stroomlijn op een bepaald ogenblik, voor de gehele installatie werd voorgesteld in figuur 17. Tussen doorsnede 1 en 2 bedraagt de totale energiehoogte op een bepaald ogenblik in alle punten van de stroomlijn 10 meter. De bijdrage van elke term in deze totale hoogte is wel verschillend in elk punt van de stroomlijn. Zo zal het aandeel van de snelheidshoogte in elk van de punten van de stroomlijn tussen doorsnede 1 en de bodem van het reservoir gestaag stijgen ten nadele van de liggingshoogte. Vanaf de bodem van het reservoir tot aan doorsnede 2 blijft de snelheidshoogte zijn aandeel behouden maar stijgt het aandeel van de hydraulische drukhoogte verder ten nadele van de liggingshoogte. Ter hoogte van doorsnede 2 valt de totale energiehoogte vanwege het stagnatiefenomeen, waarbij de snelheidshoogte plots nul wordt, op de waarde 4 meter. Voor de punten op de stroomlijn na doorsnede 2 neemt de hydraulische druk af ten voordele van de liggingsenergiehoogte.

De stagnatieverliesterm zouden we kunnen berekenen door de veralgemeende wet van Bernoulli, die rekening houdt met energieverliestermen, toe te passen tussen doorsneden 3 en 4 of zelfs tussen 1 en 4:

Bernoulli tussen 3 en 4: \(\frac{{{p_3}}}{{\rho g}} + \frac{{v_3^2}}{{2g}} + {h_3} - {H_{Stw}} = \frac{{{p_4}}}{{\rho g}} + \frac{{v_4^2}}{{2g}} + {h_4}\)

Referenties: \({h_2} = 0\quad en\quad {p_{rel}}\)

Verder is: \(\frac{{{p_3}}}{{\rho g}} = 2\;m\;\quad \frac{{v_3^2}}{{2g}} = \quad {h_3} = 2\;m\quad {p_4} = 0\quad {v_4} = 0\quad {h_4} = 4\;m\)

Waaruit: \({H_{Stw}} = \frac{{{p_3}}}{{\rho g}} + \frac{{v_3^2}}{{2g}} + {h_3} - {h_4} = 2 + 6 + 2 - 4 = 6\;m\)

Bernoulli tussen 1 en 4: \(\frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} - {H_{Stw}} = \frac{{{p_4}}}{{\rho g}} + \frac{{v_4^2}}{{2g}} + {h_4}\)

Referenties: \({h_2} = 0\quad en\quad {p_{rel}}\)

Verder is: \({p_1} = 0\quad {v_1} \simeq 0\quad {h_1} = 10\,m\quad {p_4} = 0\quad {v_4} \simeq 0\quad {h_4} = 4\,m\)

Waaruit: \({H_{Stw}} = {h_1} - {h_4} = 10 - 4 = 6\;m\)

Bovenstaande oplossing is slechts een benadering van de werkelijkheid en lijkt zelfs in tegenspraak te zijn met de wet van communicerende vaten: wanneer twee reservoirs aan elkaar verbonden worden, dan stroomt er vloeistof van het hoogst geplaatst naar het laagst geplaatst reservoir tot er statisch evenwicht bereikt is, waarbij de vloeistofniveaus in beide reservoirs op gelijke hoogte gekomen zijn. In bovenstaand model gingen we op een bepaald ogenblik uit van een (quasi-)stationaire stroming, waarbij de vloeistofniveaus niet wijzigen. Strikt genomen mogen we de wet van Bernoulli niet toepassen en is de oplossing slechts benaderend juist. Indien de doorsnedeoppervlakte van de verbindingsleiding veel kleiner is dan de doorsnedes van de reservoirs, dan geeft bovenstaande benaderende methode evenwel een goede schatting voor de actuele snelheid en het bijbehorende actuele debiet voor de omstandigheden op het bekeken ogenblik. Deze snelheid en debiet zijn echter niet constant in de tijd, zodat het geen geschikte methode is om bijvoorbeeld de ledigingstijd van een reservoir of de overslagtijd van een hoeveelheid vloeistof tussen 2 reservoirs te bepalen. Energetisch gezien komt de benadering erop neer dat er met een kinetische energie-verliesterm dient gerekend te worden.

1.6.6 Stroming doorheen een leiding

Een horizontaal geplaatste leiding heeft een diameter van 2 duim, die in een convergent afneemt tot 1 duim. Na de convergent helt ze naar boven zodat ze 5 meter hoger terug horizontaal komt te liggen (figuur 18). In de leiding bevindt zich een vloeistof met dichtheid \(\rho = 1200\,kg/{m^3}\). Manometer 1 geeft een overdruk aan van 4,8 bar. Bepaal de druk die manometer 2 zal aangeven indien:

1. \(v = 0\);

2. de snelheid in de leiding van 2 duim 2 m/s bedraagt.

1.6.7 Oplossing

1.6.7.0.1 Stroombeeld

Wanneer de vloeistof in de cilindrische leiding in beweging is kunnen, kunnen we de stroming voorstellen via één gemiddelde stroomlijn, die de hartlijn van de leiding volgt. Wanneer de vloeistof zich in de leiding in rust bevindt, kunnen we de methodes van hoofdstuk DE toepassen uitgaande van de drukevenwwichtslijn van Euler, die kan bekeken worden als een bijzonder geval van de stroomlijn. We kunnen in beide gevallen dus vertrekken van hetzelfde ‘stroombeeld’.

1.6.7.0.2 Stromingsvergelijkingen

1.6.7.0.2.1 Bernoulli

tussen 1 en 2: \(\frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}\)

1.6.7.0.2.2 Castelli

\(\begin{array}{c}{v_2} = \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} \cdot {v_1}\\ = {\left( {\frac{{{d_1}}}{{{d_2}}}} \right)^2} \cdot {v_1}\\ = {\left( {\frac{2}{1}} \right)^2} \cdot 2\\ = 8\,m/s\end{array}\)

1.6.7.0.2.3 Referenties

\({h_1} = 0\quad en\quad {p_{rel}}\)

1.6.7.0.3 Waaruit

Vloeistof in rust:

\({p_1} = 4,8 \cdot {10^5}\,Pa\quad {v_1} = 0\quad {p_2} = ?\quad {v_2} = 0\quad {h_2} = 5\;m\)

\({p_2} = {p_1} - \rho g{h_2} = 4,8 \cdot {10^5} - 1200 \cdot 10 \cdot 5 = 4,2 \cdot {10^5}\,Pa = 4,2\,bar\)

Stromende vloeistof:

\({p_1} = 4,8 \cdot {10^5}\,Pa\quad {v_1} = 2\,m/s\quad {p_2} = ?\quad {v_2} = ?\quad {h_2} = 5\;m\)

\[\frac{{{p_2}}}{{\rho g}} = \frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} - \frac{{v_2^2}}{{2g}} - {h_2}\]

\(\begin{array}{c}{p_2} = {p_1} + \rho \frac{{v_1^2}}{2} - \rho \frac{{v_2^2}}{2} - \rho g{h_2}\\ = 4,8 \cdot {10^5} + 1200\frac{4}{2} - 1200\frac{{64}}{2} - 0,5 \cdot {10^5}\\ = (4,8 - 0,36 - 0,5) \cdot {10^5} = 3,94 \cdot {10^5}\,Pa = 3,94\,bar\end{array}\)

Deze druk is lager dan in het eerste geval omdat een gedeelte van de statische druk wegens de vernauwing van de leiding omgezet wordt in dynamische druk.

1.6.8 Analyse van een pompinstallatie.

Een centrifugaalpomp levert een debiet \(q = 35\,\,l/s\) aan de leiding voorgesteld in figuur 19. De zuigleiding heeft een diameter van 200 mm, de persleiding van 150 mm. De manometer in de zuigleiding geeft net voor de pomp op 2 meter boven het aanzuigniveau een onderdruk aan van 0,28 bar. De manometer in de persleiding, net na de pomp en 0,5 meter hoger geplaatst, geeft een overdruk aan van 2 bar. Het soortelijk gewicht van de verpompte vloeistof bedraagt \(\rho \cdot g\)= 12000 N/m³. Reken met g=9,81 m/s².

1. Bepaal de som van de liggingshoogte, de drukhoogte en de snelheidshoogte in elk van de drie aangegeven doorsnedes.

2. Schets de energielijn voor de installatie.

3. Bepaal de opvoerhoogte \({H_P}\)van de pomp en het bijbehorend vermogen\({P_P}\) van de pomp bij \(q = 35\,l/s = 0,035\,\,{m^3}/s\).

4. Bepaal de weerstandshoogte \({H_{wz}}\) tussen doorsnede 1 en 2.

5. Ga na hoe het pompvermogen zich verdeelt over de verschillende energetische termen.

6. Bepaal de statische opvoerhoogte die de pomp minstens moet kunnen leveren, teken de pomp-leidingskarakteristiek en bespreek de voornaamste kenmerken ervan.

Oplossing:

1.6.8.0.1 Stroombeeld

We gaan gaan uit van de gemiddelde stroomlijn, die punten 1, 2 en 3 van figuur 19 verbindt.

1.6.8.0.2 Stromingsvergelijkingen

1.6.8.0.2.1 Bernoulli

tussen 1 en 2: \({H_1} - {H_{wz}} = {H_2} \Rightarrow \frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} - {H_{wz}} = \frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}\)

tussen 2 en 3: \({H_2} + {H_P} = {H_3} \Rightarrow \frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2} + {H_P} = \frac{{{p_3}}}{{\rho g}} + \frac{{v_3^2}}{{2g}} + {h_3}\)

tussen 1 en 3: \({H_1} - {H_{wz}} + {H_P} = {H_3} \Rightarrow \frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} - {H_{wz}} + {H_P} = \frac{{{p_3}}}{{\rho g}} + \frac{{v_3^2}}{{2g}} + {h_3}\)

1.6.8.0.2.2 Castelli

\({v_2} = \frac{q}{{{A_2}}} = \frac{{4q}}{{\pi d_2^2}}\)

\({v_3} = {v_2}{\left( {\frac{{{d_2}}}{{{d_3}}}} \right)^2}\)

1.6.8.0.2.3 Referenties en gegevens

\({h_1} = 0\quad {\text{en}}\quad {p_{rel}}\)

\({p_1} = 0;\quad {v_1} \simeq 0;\quad {h_1} = 0;\)

\({p_2} = - 0,28 \cdot {10^5}\,Pa;\quad {h_2} = 2\,m\)

\({p_3} = 2 \cdot {10^5}\,Pa;\quad {h_3} = 2,5\,m\)

1.6.8.0.3 Uitwerking

1.6.8.0.3.1 Energiehoogtes

\({H_1} = 0\)

\({v_2} = \frac{{4q}}{{\pi d_2^2}} = \frac{{4 \cdot 0,035}}{{\pi \cdot {{0,2}^2}}} = 1,114\,\,m/s\)

\({H_2} = \frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2} = \frac{{ - 0,28 \cdot {{10}^5}}}{{12 \cdot {{10}^3}}} + \frac{{{{1,114}^2}}}{{2 \cdot 9,81}} + 2 = - 0,27\,m\)

\({v_3} = {v_2}{\left( {\frac{{{d_2}}}{{{d_3}}}} \right)^2} = 1,114 \cdot {\left( {\frac{{0,2}}{{0,15}}} \right)^2} = 1,981\,m/s\)

\({H_3} = \frac{{{p_3}}}{{\rho g}} + \frac{{v_3^2}}{{2g}} + {h_3} = \frac{{2 \cdot {{10}^5}}}{{12 \cdot {{10}^3}}} + \frac{{{{1,981}^2}}}{{2 \cdot 9,81}} + 2,5 = 19,37\,m\)

1.6.8.0.3.2 De energielijn voor deze installatie

1.6.8.0.3.3 Opvoerhoogte van de pomp, weerstandshoogte, pompvermogen, energieverdeling

Door de druk in doorsnede 2 te meten kan de weerstandshoogte, een maat voor de energieverlies door wrijving in dit geval in de zuigleiding, bij een debiet q bepaald worden:

\(\begin{array}{c}{H_{wz}} = \left( {\frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1}} \right) - \left( {\frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}} \right)\\ = {H_1} - {H_2} = 0 - ( - 0,27)\\ = 0,27\,m\end{array}\)

Door de druk in doorsnede 3 te meten wordt de opvoerhoogte bepaald, een maat voor de energie die door de pomp vanuit de omgeving aan de stromende vloeistof wordt toegevoegd bij een debiet q:

\(\begin{array}{c}{H_P} = \left( {\frac{{{p_3}}}{{\rho g}} + \frac{{v_3^2}}{{2g}} + {h_3}} \right) - \left( {\frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}} \right)\\ = {H_3} - {H_2} = 19,37 - ( - 0,27)\\ = 19,64\,m\end{array}\)

Het bijbehorend pompvermogen bij een debiet q vinden we uit:

\({P_P} = q \cdot \rho \cdot g \cdot {H_P} = 0,35 \cdot 12000 \cdot 19,64 = 8247\,W = 8,247\,kW\)

De verdeling van de energie, die door de pomp geleverd wordt bij een debiet q, kunnen we bepalen vanuit de veralgemeende wet van Bernoulli tussen begin en einddoorsnede van de installatie:

\({H_P} = ({h_3} - {h_1}) + \frac{{({p_3} - {p_1})}}{{\rho g}} + \frac{{(v_3^2 - v_1^2)}}{{2g}} + {H_{wz}}\)

\({H_P} = (2,5 - 0) + \frac{{(2 - 0) \cdot {{10}^5}}}{{1,2 \cdot {{10}^4}}} + \frac{{({{1,981}^2} - 0)}}{{2 \cdot 9,81}} + 0,27\)

\({H_P} = 2,5 + 16,667 + 0,199 + 0,27\, = 19,17 + 0,47 = 19,64\;m\)

De bijbehorende vermogens vinden we door de energiehoogtes met de factor (\(q \cdot \rho \cdot g\)) te vermenigvuldigen. Bovenstaande energiehoogte- en vermogentermen werden overzichtelijk sa-mengevat in tabel 1.

1.6.8.0.3.4 Pomp-Leidingskarakteristiek

De statische opvoerhoogte die de pomp minstens moet kunnen leveren is de energie die de pomp moet kunnen leveren om de stromingskenmerken te kunnen bereiken bij een debiet 0. We vinden deze uit de veralgemeende wet van Bernoulli, tussen begin- en einddoorsnede van de installatie en daarin de termen die bepaald worden door de stroomsnelheid gelijk aan nul te stellen:

\({H_P} = ({h_3} - {h_1}) + \frac{{({p_3} - {p_1})}}{{\rho g}} + \frac{{(v_3^2 - v_1^2)}}{{2g}} + {H_{wz}}\)

\({H_{Pst}} \ge {H_{Lst}} = ({h_3} - {h_1}) + \frac{{({p_3} - {p_1})}}{{\rho g}} = 2,5 + 16,67 = 19,17\,m\)

De tweede term noemen we de statische leidingshoogte\({H_{Lst}}\). We stellen dit punt voor als eerste punt van de leidingskarakteristiek in de pomp-leidingskarakteristiek, een (H,q)-diagram (figuur 21) waarin respectievelijk het linker- en het rechterlid van de eerste vergelijking hiervoor voorgesteld wordt via 2 curves, die elkaar snijden in het werkingspunt van de installatie bij het heersende debiet, in dit vraagstuk q=0,35 m³/s. Het werkingspunt \(({H_P},q)\) hebben we reeds berekend en kunnen we dus eveneens voorstellen via het punt \(({H_P} = 19,64;q = 0,035)\). Een analyse van het tweede deel van het rechterlid van bovenstaande vergelijking levert dat de leidingskarakteristiek meer dan kwadratisch stijgt vanaf het debiet 0. Op figuur 21 werd dit schematisch voorgesteld: de leidingskarakteristiek loopt door de 2 berekende punten en neemt toe. Dit betekent dat om dezelfde toestandsgrootheden te bereiken bij een stijgend debiet door de pomp een sterk stijgende hoeveelheid energie zou moeten geleverd worden om de sterk stijgende stromingsverliezen te compenseren. Een analyse van de werkingsprincipes van centrifugaalpompen levert een pompkarakteristiek met een vorm zoals voorgesteld op figuur 21. Omdat de opvoerhoogte ook onafhankelijk blijkt te zijn van de dichtheid van de verpompte vloeistof kunnen pompkarakteristieken voor elk type pomp door de producent opgemeten worden in een meetinstallatie waarin water gebruikt wordt. Via deze karakteristieken kan een geschikte pompkeuze gemaakt worden op basis van volgende belangrijke criteria:

• de statische opvoerhoogte van de gekozen pomp moet in voldoende mate groter zijn dan de statische opvoerhoogte die door de bedrijfsomstandigheden vereist wordt, zo niet ondervindt men moeilijkheden bij het opstarten van de pomp.

• de pompkarakteristiek moet bij het vereiste debiet tenminste de vereiste opvoerhoogte bereiken (het werkingspunt), zelfs liefst iets meer omdat de leidingskarakteristiek kan beïnvloed worden door het inbouwen van een debietregelaar, in wezen een bijkomende stromingsweerstand, die toelaat de leidingskarakteristiek uit te waaieren over een gebruiksgebied. In figuur 21 werd deze waaier van leidingcurves in stippellijn voorgesteld.

• daarnaast moet gecontroleerd worden of de pomp ontworpen is voor de vereiste vermogens, die ook afhankelijk zijn van de dichtheid van de te verpompen vloeistof.

• meestal zal men van een pomp in een installatie een variatie in gebruiksdebieten vereisen; men zal dus ook een economische afweging dienen te maken tussen installatie-, energie- en onderhoudskosten. In deze afweging spelen o.a. de rendementscurve van de te kiezen pomp een belangrijke rol, evenals de gekozen wijze van debietsregeling: vaak een keuze tussen een toerentalregeling van de aangesloten elektrische motor en het inbouwen van een afsluiter. Beide systemen beïnvloeden de leidingskarakteristiek op een andere manier. Toerentalregeling is vaak energetisch efficiënter dan het gebruik van regelweerstanden.

1.6.9 Stroming met ingeschatte weerstandshoogtes

In de installatie van figuur 22 stroomt olie met een relatieve dichtheid \(\delta = 0,761\)van tank A naar tank E. In de leiding treden stromingsverliezen op. In volgend hoofdstuk worden de methodes behandeld die toelaten deze verliezen behoorlijk in te schatten in functie van de aard van de stroming, de viscositeit van de stromende vloeistof, de diameter en de ruwheid van de leiding en de stroomsnelheid. Uiteindelijk worden alle leidingsweerstanden uitgedrukt in functie van de snelheidshoogte. Voor de installatie van figuur 22 leverden deze inschatting volgende gegevens:

Intreeverlies: \({H_{wab}} = 0,6 \cdot \frac{{v_{bc}^2}}{{2g}}\)

Leidingsverlies: \({H_{wbc}} = 9 \cdot \frac{{v_{bc}^2}}{{2g}}\)

Verlies in het convergent: \({H_{wcd}} = 0,4 \cdot \frac{{v_{de}^2}}{{2g}}\)

Leidingsverlies, incl. stagnatieverlies in e: \({H_{wde}} = 9 \cdot \frac{{v_{de}^2}}{{2g}}\)

Bereken:

1. het debiet q

2. de druk in doorsnede C

Oplossing.

1.6.9.0.1 Stroombeeld

we kunnen de stroming bekijken als een quasi-stationaire 1-dimensionele stroming via één stroomlijn van doorsnede a over doorsneden b, c, d en e tot doorsnede f.

1.6.9.0.2 Stromingsvergelijkingen

1.6.9.0.2.1

1.6.9.0.2.2 Bernoulli

tussen a en f: \(\frac{{{p_a}}}{{\rho g}} + \frac{{v_a^2}}{{2g}} + {h_a} - {H_w} = \frac{{{p_f}}}{{\rho g}} + \frac{{v_f^2}}{{2g}} + {h_f}\quad (1)\)

tussen a en c: \(\frac{{{p_a}}}{{\rho g}} + \frac{{v_a^2}}{{2g}} + {h_a} - {H_{wac}} = \frac{{{p_c}}}{{\rho g}} + \frac{{v_c^2}}{{2g}} + {h_c}\quad (2)\)

1.6.9.0.2.3 Castelli

tussen c en d: \({v_{de}} = {\left( {\frac{{{d_{bc}}}}{{{d_{de}}}}} \right)^2}{v_{bc}} = {\left( {\frac{{0,3}}{{0,15}}} \right)^2} = 4 \cdot {v_{bc}}\quad (3)\)

debiet in c: \(q = {v_{bc}} \cdot \frac{{\pi \cdot d_{bc}^2}}{4}\quad (4)\)

1.6.9.0.2.4 Referenties en gegevens

\({h_f} = 0\quad \quad {p_{rel}}\)

\({p_a} = 0\quad {v_a} \simeq 0\quad {h_a} = 12\,m\)

\({p_f} = 0\quad {v_f} \simeq 0\quad {h_f} = - 12\,m\)

\({p_c} = ?\quad {v_c} = 1,21\,m/s\quad {h_c} = 0,6\,m\)

\(\rho = 761\,kg/{m^3}\;\)

\({H_w} = 0,6 \cdot \frac{{v_{bc}^2}}{{2g}} + 9 \cdot \frac{{v_{bc}^2}}{{2g}} + 0,4 \cdot \frac{{v_{de}^2}}{{2g}} + 9 \cdot \frac{{v_{de}^2}}{{2g}}\quad (5)\)

\({H_{wac}} = 0,6 \cdot \frac{{v_{bc}^2}}{{2g}} + 9 \cdot \frac{{v_{bc}^2}}{{2g}}\quad (6)\)

1.6.9.0.3

1.6.9.0.4 Uitwerking

1.6.9.0.4.1 Debiet q

\(12 - 9,6 \cdot \frac{{v_{bc}^2}}{{2g}} - 9,4 \cdot \frac{{16 \cdot v_{bc}^2}}{{2g}} = 0 \Rightarrow {v_{bc}} = 1,21\,m/s\)

\(q = {v_{bc}} \cdot \frac{{\pi \cdot d_{bc}^2}}{4} = 1,21 \cdot \frac{{\pi \cdot {{0,3}^2}}}{4} = 0,086\,\,{m^3}/s\)

1.6.9.0.4.2 druk in c

\(\frac{{{p_c}}}{{\rho g}} = - {H_{wac}} - \frac{{v_c^2}}{{2g}} - {h_c}\; = - 0,716 - \;\frac{{{{1,21}^2}}}{{2 \cdot 9,81}}\; - \;\;0,6\;\)

\(\begin{array}{c}{p_c} = - 761 \cdot 9,81 \cdot \left( {0,716 + \;\frac{{{{1,21}^2}}}{{2 \cdot 9,81}}\; - + \;0,6} \right)\;\\ = - 10384\,Pa\\ = - 0,1038\,bar\end{array}\)

\({p_c} = 0,1038\,bar\) onderdruk

1.6.10 Pompinstallatie met gekende weerstandshoogten

De pomp van figuur 23 levert een debiet q = 0,25 m³/s. De vloeistof heeft een dichtheid ρ=762 kg/m³. De weerstandshoogte in de zuigleiding bedraagt H_wz = 2,5 m. De weerstandshoogte in de persleiding, inclusief het stootverlies dat optreedt ter hoogte van de intreedoorsnede van het bovenste reservoir, bedraagt H_wp = 2,5 m.

1. Bepaal het vermogen dat door de pomp aan de vloeistof geleverd wordt.

2. Schets de energielijn voor de installatie.

3. Hoe verdeelt het pompvermogen zich over de verschillende energetische termen in de stroming.

4. Bepaal de statische opvoerhoogte die de pomp minstens moet kunnen leveren.

5. Schets de pomp-leidingskarakteristiek.

1.6.10.0.1 Oplossing

1.6.10.0.1.1

1.6.10.0.2 Stroombeeld

we kunnen de stroming bekijken als een quasi-stationaire 1-dimensionele stroming via één stroomlijn van doorsnede 1 over de pomp tot doorsnede 2.

1.6.10.0.3 Stromingsvergelijkingen

1.6.10.0.3.1 Bernoulli

tussen 1 en 2: \(\frac{{{p_1}}}{{\rho g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} - {H_{wz}} + {H_P} - {H_{wp}} = \frac{{{p_2}}}{{\rho g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}\)

1.6.10.0.3.2 Referenties en gegevens

\({h_P} = 0\quad \quad {p_{rel}}\)

\({p_1} = 0\quad {v_1} \simeq 0\quad {h_1} = 12\,m\)

\({p_2} = 0\quad {v_2} \simeq 0\quad {h_2} = 57\,m\)

\({H_w} = {H_{wz}} + {H_{wp}} = 2,5 + 6,5 = 9\,m\)

1.6.10.0.4 Uitwerking

1.6.10.0.4.1 Pompvermogen bij een debiet q = 0,25 m³/s

1.6.10.0.4.2 \({H_P} = ({h_2} - {h_1}) + (\frac{{{p_2}}}{{\rho g}} - \frac{{{p_1}}}{{\rho g}}) + (\frac{{v_2^2}}{{2g}} - \frac{{v_1^2}}{{2g}}) + {H_w}\)

\({H_P} = (57 - 12) + 0 + 0 + 9 = 45 + 0 + 0 + 9 = 54\,m\)

\({P_P} = q \cdot \rho \cdot g \cdot {H_P} = 0,25 \cdot 762 \cdot 9,81 \cdot 54 = 100915\,W = 100,92\,kW\)

1.6.10.0.4.3 Energielijn

werd voorgesteld in figuur 23

1.6.10.0.4.4 Energieverdeling en vemogenverdeling

1.6.10.0.4.5 Statische opvoerhoogte van de pomp

\[{H_{Pst}} \> ({h_2} - {h_1}) + (\frac{{{p_2}}}{{\rho g}} - \frac{{{p_1}}}{{\rho g}}) = \,45\,m\]

1.6.10.0.4.6 Pomp-leidingskarakteristiek

1.6.11 Stagnatiedruk

Een klein passagiersvliegtuig vliegt op een kruishoogte van 3048 meter aan een (constante) kruissnelheid van 322 km/h in stilstaande lucht die beantwoordt aan de standaard-atmosfeer . Bepaal:

1. De (atmosferische) druk op die hoogte in een punt ver genoeg van de neus van het vliegtuig.

2. De stagnatiedruk ter hoogte van de neus van het vliegtuig.

3. De waarde die in een Pitot-buis dicht bij de neus van het toestel zal gemeten worden.

Oplossing:

1.6.11.0.1 Stroombeeld

We werken met een controlevolume omheen het vliegtuig dat meebeweegt met de constante snelheid van het vliegtuigje. De piloot ziet in dit controlevolume een stationair relatief stroombeeld en ziet op de stroomlijnen een snelheidsrichting naar hem toekomen. In een regio voor het stagnatiepunt buigen deze stroomlijnen zich omheen de contouren van de vliegtuigneus. In deze regio neemt de stroomsnelheid af terwijl de druk toeneemt. Het stroombeeld voldoet aan alle voorwaarden om de wet van Bernoulli te mogen toepassen langsheen elke stroomlijn.

1.6.11.0.2 Stromingsvergelijkingen

1.6.11.0.2.1 Bernoulli

tussen punt 1 en 2: \(\frac{{{p_1}}}{{{\rho _{lucht}}g}} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + {h_1} = \frac{{{p_2}}}{{{\rho _{lucht}}g}} + \frac{{v_2^2}}{{2g}} + {h_2}\)

1.6.11.0.2.2 Referenties en gegevens

\({p_{abs}}\)

\({h_2} = {h_1}\quad {v_2} = 0\quad {p_2} = ?\)

\(\rho = 0,9093\;kg/{m^3}\) (tabel p. EF.42)

\({p_1} = 7,012 \cdot {10^4}\,Pa\)

\({v_1} = 322\,km/h = \frac{{322 \cdot {{10}^3}}}{{3600}} = 89\,m/s\)

1.6.11.0.3 Uitwerking

\(\frac{{{p_2}}}{{{\rho _{lucht}}}} = \frac{{{p_1}}}{{{\rho _{lucht}}}} + \frac{{v_1^2}}{2}\)

\(\begin{array}{c}{p_2} = {p_1} + {\rho _{lucht}} \cdot \frac{{v_1^2}}{2}\\ = 7,012 \cdot {10^4} + 0,9093 \cdot \frac{{{{89}^2}}}{2}\\ = (7,012 \cdot {10^4} + 3600)\,Pa\end{array}\)

Met een Pitot-buis wordt de relatieve druk gemeten

\(\begin{array}{c}{p_{2rel}} = {p_2} - {p_1}\\ = {\rho _{lucht}} \cdot \frac{{v_1^2}}{2}\\ = 3600\,Pa\end{array}\)

Opmerkingen:

Om de de wet van Bernoulli te mogen toepassen in bovenstaande vorm moet de lucht ook onsamendrukbaar zijn zodat de dichtheid constant is. In principe is de dichtheid volgens de gaswet afhankelijk van druk en temperatuur: \(\rho = \frac{p}{{RT}}\). Bij relatief lage snelheden, zoals hiervoor, zijn de afwijkingen niet al te hoog: \({p_1} \simeq {p_2} \Rightarrow {\rho _1} \simeq {\rho _2}\). In dat geval kan de vliegsnelheid relatief t.o.v. de lucht berekend worden vanuit de opgemeten relatieve druk in de Pitot-meter die bevestigd is op het vliegtuig:

\({v_1} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {p_{2rel}}}}{{{\rho _{lucht}}}}}\)

Moderne commerciële lijnvliegtuigen vliegen op meer dan 10.000 meter hoogte aan een snelheid tussen de 750 en 900 km/h. In dat geval zijn de afwijkingen te groot en kan de wet van Bernoulli niet meer toegepast worden. De energievergelijking moet dan aangepast worden aan de samendrukbaarheid van de lucht, maar nog altijd kan de snelheid afgeleid worden uit de drukmeting via een Pitot-buis.

Oefening:

herneem voorgaande berekeningen indien de piloot dezelfde kruissnelheid aanhoudt bij respectievelijk een tegenwind en een meewind van 60 km/h.

1.7 Oefeningen: wet van Bernoulli en regel van Castelli

1.7.1

De werking van een waterkrachtcentrale is gebaseerd op het feit dat het water aan de hoogpeilzijde onderaan de waterdam een hogere energie-inhoud heeft dan het water op dezelfde plaats van de dam aan de laagpeilzijde.

1. Maak een principeschets van zulke installatie.

2. Bepaal het vermogen dat per meter peilverschil en per eenheidsdebiet onder aan de dam beschikbaar is om een waterturbine aan te drijven, die op zijn beurt via een generator de elektrische energie opwekt. Reken met ρ = 1000 kg/m³ en g = 10 m/s².

3. Stel dat een waterdam voor een peilverschil van 30 meter zorgt. Welk debiet moet mini-maal (indien men zonder verliezen rekent) over de waterturbines geleid worden om een krachtcentrale van 300 MW (300 Megawatt) te kunnen realiseren?

Oplossing:

1. 10 kW

1. 1000 m³/s

1.7.2

Uit een open reservoir, waarin het peil constant gehouden wordt, stroomt water door een aangeslo-ten leiding. Het water mondt aan het einde van de leiding uit in de vrije atmosfeer. Reken met ρ = 1000 kg/m³ en g = 10 m/s². Schets het stroombeeld en bereken:

1. de snelheid waarmee het water uit de leiding stroomt

2. de statische overdruk in het wijde gedeelte van de leiding

1. het debiet

1. het vermogen waarover men beschikt aan de uittreedoorsne-de.

Oplossing:

1. v = 4 m/s

2. p = 7,5 kPa

3. q = 0,002827 m³/s

4. P = 23 W

1.7.3

Twee zeer grote open reservoirs zijn met elkaar verbonden door de aange-geven leiding. De verliezen in de lei-ding worden verwaarloosd. Bepaal:

1. de snelheid v en het debiet waarmee de vloeistof het laagste reservoir binnenstroomt.

2. de overdruk in de punten a en b van de leiding.

1. teken de theoretische energielijn.

2. Welk pompvermogen zou men in het punt a van de leiding moeten installeren om het debiet te verdubbelen? Schets de nieuwe energielijn.

Reken met ρ = 1000 kg/m³ en g = 10 m/s².

Oplossing:

1. v = 10 m/s en q = 19,6 l/s; b. p_a = 0,47 bar; p_b = 0,2 bar; c. P = 5,9 kW

1.7.4

Een pomp is aangesloten op een zuig-leiding met een diameter van 0,2 m. Het pompdebiet bedraagt 0,08 m³/s. De vloei-stof heeft een soortelijke massa ρ = 800 kg/m³. Reken met g = 10 m/s². Schets het stroombeeld in deze installatie. Bepaal de absolute druk in de punten b en d van de zuigleiding indien

1. de weerstandshoogte in de zuigleiding wordt verwaarloosd.

2. de weerstandshoogte in de zuigleiding 1 meter bedraagt.

De atmosferische druk bedraagt 1,013 bar. Bepaal in beide gevallen eveneens het minimaal te installeren pompvermogen (dat is het vermogen van een pomp die uitsluitend het debiet zou leveren en geen bijkomende drukverhoging, wat betekent dat de druk in het punt c van de installatie terug de atmosferische druk zou zijn). Teken telkens de energielijn.

Oplossing: a. p_b = 0,872 bar; p_d = 1,027 bar; P = 1488 W;

2. p_b = 0,747 bar; p_d = 1,027 bar; P = 2128 W

1.7.5

Een centrifugaalpomp verpompt een vloeistof met een soortelijke massa ρ = 1100 kg/m³. De toestroomhoogte bedraagt 2 meter, de pershoogte 20 meter. Op het aanzuigoppervlak staat de atmosferische druk, die 1 bar bedraagt. Het persvat staat onder een overdruk van 5 bar. Pers- en zuigleiding hebben een diameter van 60 mm. Bij een debiet q = 0,00425 m³/s meet men volgende drukken:

• net voor de pomp 0,2 bar overdruk.

• net na de pomp 8 bar overdruk.

Reken met g = 10 m/s².

1. Bepaal alle weerstandsverliezen bij dit debiet.

2. Schets de energielijn voor deze installatie en geef alle relevante numerieke waarden aan.

3. Bepaal de opvoerhoogte van de pomp bij dit debiet.

4. Bepaal het pompvermogen bij dit debiet.

5. Geef numeriek en overzichtelijk aan hoe dit vermogen aangewend wordt.

6. Bepaal de statische opvoerhoogte, die de pomp minstens moet kunnen realiseren.

7. Schets op één grafiek:

• de pompkarakteristiek van de centrifugaalpomp

• de leidingskarakteristiek

• het werkingspunt van de pomp

• de belangrijkste berekende getalwaarden

en bespreek kort.

Oplossing:

1. H_wz = 0,07 m; H_wp = 7,39 m;

2. (2 m; 1,931 m; 72,840 m; 65,455 m);

3. H_p = 70,91 m

4. P_p = 3315 W;

5. drukverhoging: 2125 W; hoogteverschil: 842 W; verliezen: 349 W

6. H_pst > 63,45 m

1.7.6

We beschouwen dezelfde installatie van deze in opgave 5; de diameter van de zuigleiding blijft 60 mm; de diameter van de persleiding bedraagt nu echter 50 mm.

1. Bepaal de vereiste opvoerhoogte en het vereiste vermogen van de pomp om hetzelfde debiet te leveren; er mag aangenomen worden dat de verliezen in de persleiding evenredig zijn met het kwadraat van de vloeistofsnelheid in de persleiding.

2. Bepaal in dat geval de druk aan de uitgang van de pomp.

Oplossing: a. ongeveer 78,84 meter; b. ongeveer 8,89 bar overdruk

1.7.7

Doorheen een verticaal geplaatste straalpijp wenst men benzeen te laten stromen aan een debiet q = 0,3 m³/s bij constante druk in de gehele leiding, namelijk de atmosferische druk. De diameter van de leiding in doorsnede A bedraagt 300 mm. Reken met g = 9,81 m/s².

1. Bepaal de diameter d die in doorsnede b vereist wordt opdat de druk er ook gelijk zou zijn aan de atmosferische druk.

2. Bepaal de snelheid in doorsnede B.

Oplossing:

1. d = 181 mm

2. v = 11,65

1.7.8

Doorheen het verticaal geplaatste convergent van de figuur stroomt water. In doorsnede 1 bedraagt de vloeistofsnelheid v₁ = 3 m/s. Het soortelijk gewicht van CC1₄ bedraagt γ = 15600 N/m³.

1. Toon aan dat door de meting in de U-buis, voorgesteld in de figuur, de weerstandshoogte over doorsnede 1 en 2 kan bepaald worden.

2. Bepaal H_w indien y = 0,2 meter bedraagt; reken met g = 8,91 m/s².

Oplossing:

1. \({H_W} = {h_1} + \frac{{v_1^2}}{{2g}} + (y - {h_1}) - \frac{{{\rho _{CC{l_4}}}}}{{{\rho _{{H_2}O}}}}y\)

2. H_W = 0,34 m

1.7.9

Doorheen een leiding met een diameter d₁ = 200 mm stroomt water aan een debiet q₁ = 50 l/s. De overdruk in doorsnede 1 bedraagt p₁ = 4 bar. Op de leiding wordt een aftakkraan met een diameter d₂ = 20 mm aangesloten. De uitstroomopening ervan bevindt zich 2 meter boven de hoofdleiding. Het water stroomt er in de vrije atmosfeer. Er wordt geen rekening gehouden met wrijvingsweerstanden. Reken met ρ = 1000 kg/m³ en g = 10 m/s². Teken het stroombeeld en bepaal het debiet in doorsnede 2 en het debiet en de druk in doorsnede 3.

Oplossing: q₂ = 8,7 l/s; q₃ = 41,3 l/s; p₃ = 4,004 bar

1.7.10

De tekening stelt schematisch een afvulin-stallatie voor. De installatie bestaat uit een verticaal opgesteld cilindrisch reservoir B met een diameter d_B = 2 meter dat tot een hoogte h_B = 3 meter gevuld is met een vloeistof ρ = 1250 kg/m³. Het vloeistofniveau in reservoir B wordt op constant peil gehouden door een gepaste aanvoer van vloeistof via de pompinstallatie. Om zuiverheidsredenen worden de ruimte boven de vloeistof in het reservoir B en de vulruimte C onder een lichte overdruk gehouden van respectievelijk p_B = 0,125 bar en p_C = 0,1 bar. De vloeistof stroomt onderaan het reservoir B doorheen een opening met een diameter d_C = 10 cm in tonnetjes, die zich in ruimte C bevinden. De vloeistof wordt vanuit een reservoir A onder atmosferische druk aangevoerd bij middel van een pomp. Het niveau van de vloeistof in het reservoir A bevindt zich 0,3 meter boven de uitstroomopening C; de pomp brengt de vloeistof in het afvulreservoir binnen via een leiding die zich 0,5 meter onder het vloeistofniveau in reservoir B bevindt. Reken met g = 10 m/s². Teken het stroombeeld in deze installatie en bepaal:

1. het afvuldebiet

2. de tijd die nodig is om 2000 liter vloeistof in tonnetjes te brengen

3. het te installeren pompvermogen om het vloeistofniveau in reservoir B constant te houden.

4. Teken de energielijn.

Oplossing:

1. q = 62,8 l/s;

2. t = 31,8 seconden;

3. P = 2906 Watt.

2 Leidraad: reële (stationaire) stromingsproblemen

1. Euler: stel het stroombeeld (op één welbepaald ogenblik) voor met behulp van (een bundel) stroomlijnen.

2. Bepaal de karakteristieke doorsneden voor het stromingsprobleem en noteer daar de geometrische grootheden (oppervlakte, diameter…) en de toestandsgrootheden: druk, hoogte, snelheid, dichtheid.

3. Schrijf (stroomafwaarts !) langsheen de stroomlijn en op een bepaald ogenblik (eventueel) een aantal keer de wet van Bernoulli:

\(\frac{{{p_1}}}{{\rho \cdot g}} + \frac{{{v_1}^2}}{{2 \cdot g}} + {h_1} + {H_P} - {H_{afg}} - {H_{wl}} = \frac{{{p_2}}}{{\rho \cdot g}} + \frac{{{v_2}^2}}{{2 \cdot g}} + {h_2}\)

\(leidingsverliezen:\quad {H_{wl}} = \lambda \frac{l}{d}\frac{{{v^2}}}{{2g}}\quad en/of\quad {H_{wl}} = \varsigma \frac{{{v^2}}}{{2g}}\) (hoofdstuk LW)

1. Schrijf langsheen de stroomlijn en op een bepaald ogenblik (eventueel) een aantal keer de continuïteitsvergelijking, de regel van Castelli:

\(\dot m = \rho \cdot q = \rho \cdot v \cdot A = cte\quad \quad\)

\(\begin{array}{l}\rho = cte\quad \Rightarrow \quad {v_1} \cdot {A_1} = {v_2} \cdot {A_2}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}\\cilindervormig\quad \Rightarrow \quad \quad \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = {\left( {\frac{{{d_2}}}{{{d_1}}}} \right)^2}\end{array}\)

1. Los het stelsel van vergelijkingen op

1. Stel de stroming doorheen de leiding voor bij middel van de energielijn

2. Evalueer het vereiste pompvermogen en schets de pomp-leidingskarakteristiek

\(\begin{array}{l}{H_P} = ({h_2} - {h_1}) + \frac{{{p_2} - {p_1}}}{{\rho \cdot g}} + \frac{{{v_2}^2 - {v_1}^2}}{{2 \cdot g}} + {H_{wl}} + {H_{afg}}\quad \left[ m \right]\\{P_P} = q \cdot \rho \cdot g \cdot {H_P} = q \cdot \rho \cdot g \cdot \left( {({h_2} - {h_1}) + \frac{{{p_2} - {p_1}}}{{\rho \cdot g}} + \frac{{{v_2}^2 - {v_1}^2}}{{2 \cdot g}} + {H_{wl}} + {H_{afg}}} \right)\quad \left[ W \right]\end{array}\)

1. Pas eventueel de impulswet toe om de krachten vanwege de stromende vloeistof op de omgeving te berekenen (hoofdstuk IM).